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Qué es y de dónde proviene el número áureo

Publicadas por Ronny Oviedo P. a la/s 8:10 a. m.

Se divide un segmento cualquiera en dos partes de forma que la razón entre la totalidad del segmento y una parte (la mayor) sea igual a la razón entre esta parte y la otra. Matemáticamente, siendo las partes a y b :

$\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b}$

Esta relación cumple la propiedad denominada razón áurea.

Para obtener el valor de $\varphi$ a partir de esta razón considere lo siguiente:

Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmetos cumplan con la razón áurea la razón los segmentos a y b deben cumplir que:

$\frac{x + 1}{x} = \frac{x}{1}$

Multiplicando ambos lados por x y reordenando:

$\ x^2 - x -1 = 0$

Se puede despejar x utilizando la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado. Las dos soluciones de la ecuación son

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

La solución positiva es el valor del número áureo, y esto es una prueba formal de que el número áureo es irracional, ya que incluye un la raíz de un número primo.

La solución negativa en cambio, es igual a:

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{-1}{\varphi}$

El rectángulo áureo de Euclides

Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.

El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides en su proposición 2.11 de Los elementos obtiene su construcción.>

$GC = \sqrt{5}$

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto

$GE=GC=\sqrt{5}$

resultando evidente que

$AE = AG + GE = 1 + \sqrt{5}$

de donde, finalmente

$\frac{AE}{AD} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}= \varphi$

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que éste último es asimismo un rectángulo áureo.

Propiedades

Φ es irracional, y el único número real positivo con:

$\varphi^2 = \varphi + 1\$

La expresión anterior es fácil de comprobar:

$\varphi^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{2^2} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2^2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$\varphi + 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Φ posee además las siguientes propiedades:

$\varphi - 1 = \frac{1}{\varphi} \$

$\varphi^3 = \frac {\varphi + 1} {{\varphi - 1}} \$

Representación mediante fracciones continuas

La expresión mediante fracciones continuas es:

$\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}$

Sorprendente interacción única (suma y multiplicación), (resta y división), donde sumar es multiplicar y restar es dividir.

El doctor Tobías Dantzig, en vida profesor emérito de la Universidad de Columbia, sugirió que esta expresión en fracción continua en la que solamente aparece la unidad podría justificar el nombre de "divina proporción".

Las fracciones continuas son conocidas desde la Antigüedad y aparecen en el Libro VIII de los Elementos de Euclides, Alejandría, siglo 3 a.E.C. Su estudio continuó a partir de 1572 en un trabajo de Rafael Bombelli.

Para la geometría sagrada de los sacerdotes paganos los únicos números bona fide eran los enteros a partir del número 1; pero este número no era considerado como tal, sino el origen de todo y la divinidad antes del acto de creación. Esta filosofía consideraba que lo visible se generaba en la disección o dualidad creadora, en la división de la unidad en dos partes opuestas, como luz-oscuridad, masculino-femenino, fijo-volátil, etc. Para ellos el primer número era 2, considerado femenino al igual que todos los números pares. La Geometría era considerada superior a la Aritmética y los números solían representarse por segmentos de recta.

Representación mediante ecuaciones algebraicas

$(\varphi)(\varphi - 1) = 1 \quad \longrightarrow \quad (\varphi)^2 - \varphi - 1 = 0 \quad \longrightarrow \quad \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

El número áureo $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ y la sección áurea $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ son soluciones de las siguientes ecuaciones:

$\ x^2 - \sqrt{5}\, x + 1 = 0$

$\ x^3 - y^3 - 4 = 0$

$\ x^4 - 3 x^2 + 1 = 0 = (x^2 - x - 1) (x^2 + x - 1)$

Representación trigonométrica

$\varphi = \frac{1}{2} sec \frac{2}{5} \, \pi \$

Representación mediante raíces anidadas

$\varphi = \sqrt{1 + \varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 +\cdots }}}}$

Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917.

El teorema general dice:

La expresión $\lim_{n \to \infty} \sqrt{a_1 + \sqrt{a_2 + \sqrt{a_3 + \sqrt{a_4 +\sqrt{\cdots + \sqrt{a_n}}}}}}$ (donde $a i = a$ ), es igual a la mayor de las raíces de la ecuación x² - x - a = 0; o sea, $\frac {1 + \sqrt{1 + 4a}}{2}$

El número de oro

Publicadas por Ronny Oviedo P. a la/s 10:03 a. m.

¿Qué es el número de oro?

El número de oro, número dorado, sección áurea, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción, representado por la letra griega Φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional.

Se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en las partes de un cuerpo, y en la naturaleza como relación entre cuerpos, en la morfología de diversos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, proporciones humanas, etc.

El número áureo o la proporción áurea se estudió desde la antigüedad, ya que aparece regularmente en geometría. Se conoce ya de su existencia en los pentágonos regulares y pentáculos de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 a. C.

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... Con relación al arte

¿Cuál es la relación con el arte?

La sección áurea se usó mucho en el Renacimiento, particularmente en las artes plásticas y la arquitectura. Se consideraba la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.

Da Vinci hizo las ilustraciones para una disertación publicada por Luca Pacioli en 1509 titulada De Divina Proportione, quizás la referencia más temprana en la literatura a otro de sus nombres, el de "Divina Proporción". Este libro contiene los dibujos hechos por Leonardo da Vinci de los cinco sólidos platónicos. Es probable que fuera Leonardo quien diera por primera vez el nombre de sectio áurea.

Los artistas de Renacimiento utilizaron la sección áurea en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo da Vinci, por ejemplo, la utilizó para definir todas las proporciones fundamentales en su pintura La última cena, desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo.

Leonardo da Vinci, en su cuadro de la Gioconda (o Mona Lisa) utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro, empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo.

La sección áurea en el arte:

Relaciones arquitectónicas en las Pirámides de Egipto.
La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).
En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.
Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci.
En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).
En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre, Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones de este número fi (1,618) en la naturaleza.
En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión NUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio de la matemática Charlie Eppes menciona que el número fi se encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral de las galaxias y en la concha del nautilus.
Arte Póvera, movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan en esta sucesión.
En la cinta de Darren Aronofsky Pi, el orden del caos el personaje central, Max Cohen, explica la relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección áurea, aunque denominándola incorrectamente como Theta (θ) en vez de Phi (Φ).

... Con relación a la naturaleza

¿Y en la naturaleza?

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea:

Según el propio Leonardo de Pisa Fibonacci, en su Libro de los ábacos, la secuencia puede ayudar a calcular casi perfectamente el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad).
La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol (no sólo del nautilus)
La relación entre los lados de un pentáculo.
La relación entre los lados de un pentágono.
La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
La distribución de las hojas en un tallo
La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles
La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).
La distancia entre las espirales de una piña.
La Anatomía de los humanos se basa en una relación Phi exacta, así vemos que:

*- La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
*- La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
*- La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
*- La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es phi.
*- La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz
*- Es phi la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar
*- Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene phi, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).
*- Está comprobado que la mayor cantidad de números phi en el cuerpo y el rostro hacen que la mayoría de las personas reconozcan a esos individuos como lindos, bellos y proporcionados. Si se miden los números phi de una población determinada y se la compara con una población de modelos publicitarios, estos últimos resultan acercarse mas al número phi.

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extraído de : elnumerodeoro.blogspot.es/

ingenieria:Disipando el Misterio Que Rodea a los Violines Stradivarius

Publicadas por Ronny Oviedo P. a la/s 2:13 p. m.

Foto: Mittuniversitetet Los violines de Antonius Stradivarius se han visto envueltos en más mitos que cualquier otro instrumento musical en la historia. Una nueva investigación está ahora tratando de desentrañar sus secretos, y en particular por qué suenan tan bien.

En la Mid Sweden University (Mittuniversitetet), de Suecia, un grupo de investigadores está utilizando tecnología moderna para descubrir los secretos de estos violines. El profesor adjunto Mats Tinnsten presenta los resultados que ha obtenido hasta el momento con el último estudio realizado en ese campo.

"No es posible reproducir los violines Stradivarius de manera exacta, desde el momento en que la madera de que están hechos es un material vivo con grandes variaciones naturales. Los resultados de nuevas investigaciones indican, sin embargo, que lograremos superar dichas dificultades con la ayuda de equipamiento informático avanzado", ha comentado Mats Tinnsten.

El italiano Antonius Stradivarius (1644-1737) introdujo una geometría y un diseño que se convirtieron en los modelos a seguir por todos los fabricantes de violines. De los 1.100 instrumentos que construyó, aún sobreviven unos 650. El extremadamente alto valor de estos instrumentos quedó demostrado en una subasta realizada en el mes de abril en Londres. El violín Stradivarius 'Lady Tennant' vendido en esa oportunidad, batió un récord en el mundo de las subastas de instrumentos musicales, con un precio astronómico de un millón y medio de euros.

El trabajo de Antonius Stradivarius (Antonio Stradivari) no ha podido ser igualado todavía. Sólo unos pocos tras la muerte de Stradivarius han logrado producir violines que, con todo, apenas se acercan al grado de perfección que caracterizó a este genio de la acústica.

Mats Tinnsten, junto al profesor adjunto Peter Carlsson, está investigando si es posible copiar los violines Stradivarius con la ayuda de tecnología moderna, incluyendo potentes ordenadores.

Lo que los científicos de la Mittuniversitetet están intentando crear es un violín que posea las mismas propiedades acústicas que los Stradivarius. Este trabajo está avanzando por etapas, y se decidió que la primera se concentraría en cálculos relativos a la parte superior del violín.

"Con la ayuda de los métodos de optimización matemáticos más avanzados, podemos determinar qué forma debería tener la parte superior de un violín para lograr las mismas propiedades que un Stradivarius genuino", explica Peter Carlsson.

La razón de por qué no es posible simplemente copiar la forma exacta de esa parte del violín, o todo él por completo, es que no sólo se trata de una cuestión de forma, sino también del material de construcción, madera de un tipo particular, sin olvidar que tiene trescientos años de edad. Por ejemplo, se ha debatido mucho acerca de hasta qué punto la física subyacente en el proceso de envejecimiento de ciertas maderas dota de una sonoridad más cristalina a la caja de resonancia de determinados violines según transcurren los siglos, lo que apoyaría la teoría de que los Stradivarius suenan ahora mejor que en vida de su creador.